Théorème d'holomorphie sous signe intégral

Théorème d'holomorphie sous signe intégral :

$\mathcal T$ est une Tribu
$\mu$ est une Mesure sur $(E,\mathcal T)$
$\Omega$ est un Ouvert de ${\Bbb C}$
$F:\Omega\times E\to{\Bbb C}$
$\forall\lambda\in E$, $F(\cdot,\lambda):\Omega\to{\Bbb C}$ est holomorphe
$\forall z_0\in\Omega$, $F(z_0,\cdot):E\to{\Bbb C}$ est $\mathcal T$-mesurable
domination : $\exists V\in\mathcal V(x_0)$ et $\ell:E\to{\Bbb R}_+$ mesurable tq : $$\int_E\ell(\lambda)\,d\mu(\lambda)\lt +\infty\quad\text{ et }\quad\forall (z,\lambda)\in V\times E,\quad \lvert F(z,\lambda)\rvert\leqslant\ell(\lambda)$$

$$\Huge\iff$$

$f:\begin{align}\Omega&\longrightarrow{\Bbb C}\\ z&\longmapsto\int_EF(z,\lambda)\,d\mu(\lambda)\end{align}$ est holomorphe sur $\Omega$
$\forall n\in{\Bbb N}$, $\frac{\partial^kF}{\partial z^k}$ satisfait encore les hypothèses
$$\forall k\in{\Bbb N},\forall z\in\Omega,\quad f^{(k)}(z)=\int_E\frac{\partial ^kF}{\partial z^k}(z,\lambda)\,d\mu(\lambda)$$

Math'φsics